ระบบจำนวน (Real Number

ร่วมส่งเนื้อหาที่เป็นประโยชน์ คลิกที่นี่ บทความของท่านมีประโยชน์กับผู้ไม่รู้อีกมากมาย

ระบบจำนวนเลขเท่าที่มนุษย์คิดค้นพบในขณะนี้ประกอบด้วยเลขจำนวน 2 ระบบ คือ

    1. ระบบจำนวนจริง (Real Number System)
    2. ระบบจำนวนเชิงซ้อนประเภทจินตภาพ (Imaginary Number System)

สรุปเป็นแผนภูมิได้ดังนี้

จำนวนเชิงซ้อน


ระบบจำนวนจริง ระบบจำนวนจินตภาพ


จำนวนตรรกยะ จำนวนอตรรกยะ


จำนวนเต็ม จำนวนเศษส่วน


จำนวนเต็มลบ จำนวนเต็มศูนย์ จำนวนเต็มบวก

จำนวนตรรกยะ (Rational Number) คือ จำนวนที่สามารถเขียนในรูปเศษส่วน a/b เมื่อ a และ b เป็นจำนวนเต็มโดยที่ b ¹ 0 จำนวนตรรกยะ จำแนกได้เป็น 3 ประเภทใหญ่ ๆ คือ

    1. จำนวนเต็ม (Integer)
    2. เศษส่วน (Fraction)
    3. ทศนิยม (Repeating decimal)

จำนวนอตรรกยะ (irrational Number) คือ จำนวนที่ไม่สามารถเขียนในรูปเศษส่วน a/b เมื่อ a และ b เป็นจำนวนเต็มโดยที่ b ¹ 0 หรือจำนวน

อตรรกยะคือ จำนวนที่ไม่ใช่จำนวนตรรกยะนั่นเอง จำนวนอตรรกยะ จำแนกได้เป็น 2 ประเภทใหญ่ใหญ่คือ

    1. จำนวนติดกรณ์บางจำนวนเช่น เป็นต้น
    2. จำนวนทศนิยมไม่ซ้ำเช่น 5.18118168473465

หมายเหตุ p ซึ่งประมาณได้ด้วย 22/7 แต่จริงๆ แล้วp เป็นเลข

อตรรกยะ

สิ่งที่ควรทราบ

 

 

จำนวนจริงทุกจำนวนสามารถแทนได้ด้วยจุดบนเส้นจำนวน

รากที่สอง(Square root )

นิยาม กำหนดให้ a แทนจำนวนจริงบวกใด ๆ หรือ ศูนย์ รากที่สองของ a คือ จำนวนจริงที่ยกกำลังสองแล้วได้ a

    1. ถ้า a เป็นจำนวนจริงบวก รากที่สองของ a มี 2 รากคือ
    2. ถ้า a = 0 รากที่สองของ a คือ 0

การหารากที่สอง

1. การหารากที่สองโดยแยกตัวประกอบ

ตัวอย่างที่ 1 จงหารากที่สองของ 64

วิธีทำ 64 = 2 x2x2x2x2x2 = 8 x 8 = 82

หรือ 64 = (-8) x (-8) = (-8) 2

ดังนั้น รากที่สองของ 64 คือ 8 และ -8

 

 

 

2. การหารากที่สองของเลขจำนวนเต็มบวกโดยการตั้งหาร

ขั้นตอนการหารากที่สองโดยการตั้งหาร

ตัวอย่างตามขั้นตอน

1. แบ่งตัวเลขเป็นชุด ๆชุดละ 2 หลัก จากขวาไปซ้ายโดยใช้เครื่องหมาย , คั่น

12,25


2. ตั้งหารยาว

12,25


3. หาจำนวนเต็มบวกที่ยกกำลังสองแล้วมีค่าเท่ากับหรือใกล้เคียงเลขชุดที่อยู่ซ้ายมือสุดใส่เลขดังกล่าวไว้ที่ตัหารและผลลัพธ์

32 มีค่าใกล้เคียง 12

3

3 12,25




4. นำตัวหารและผลลัพธ์ในข้อ 3 มาคูณกันแล้วนำไปลบออกจากเลขชุดที่อยู่ด้านซ้าย

3

3 12,25

9 3x3

3



5. ดึงตัวเลขชุดที่ 2 จากซ้ายมือมารวมกับผลลัพธ์ในข้อ 4

3

  1. 12,25

9

325




6. นำ 2 คูณผลลัพธ์ที่ได้นำมาเป็นตัวหารตัวใหม่โดยเว้นที่ว่างไว้ 1 ช่องทางขวามือและที่ผลลัพธ์อีก 1 ช่อง

3 

3 12,25

9

6  3 25



7. หาตัวเลขมาใส่ไว้ในช่องว่างที่เตรียมไว้ในข้อ 6 ( ผลคูณของตัวเลขที่นำมาใส่กับตัวหารจะต้องมีค่าใกล้เคียงกับค่าที่ได้ในข้อ 5 )

3 5

3 12,25

9

6 5 3 25





8. นำตัวเลขจากข้อ 7 ไปคูณตัวหาร แล้วนำผลลัพธ์ที่ได้ไปลบออกจากค่าในข้อ 5

3 5

3 12,25

9

6 5 3 25

3 25 5 x 65

0 00

  1. ถ้าผลลัพธ์ในข้อ 8 เป็น 0 แสดงว่าการหารค่ายุติ แต่ถ้าผลลัพธ์ในข้อ 8 ไม่เป็น 0 ให้ทำตามขั้นตอนในข้อ 5 ไปตามลำดับ

 

คำตอบ คือ 35

10. ตรวจสอบคำตอบ โดยนำผลลัพธ์ที่ได้มายกกำลังสอง แล้วพิจารณาค่าที่ได้ใกล้เคียงกับค่าที่ต้องการหรือไม่

352 = 1225

แสดงว่ารากที่สองของ 1225 คือ -35 และ 35

    1. การหารรากที่สองของทศนิยม โดยการตั้งหาร

มีหลักเหมือนการหารากที่สองของเลขจำนวนเต็มทุกประการ จะแตกต่างกันก็แต่เพียงการแบ่งเลขเป็นชุด ๆ หลังจุดทศนิยมจะแบ่งจากซ้ายไปขวา (โดยเริ่มจากจุดทศนิยม) ครั้งละ 2 หลัก โดยมีเครื่องหมาย , คั่นเช่นกัน ลองทำดูนะคะเช่น จงหาราที่สองของ 10.58 = 3.2527 เป็นต้น

รากที่ 3 (Cube root )

นิยาม ให้ a แทนจำนวนจริงใด ๆ รากที่สามของ a คือ จำนวนจริงที่ยกกำลังสามแล้วได้ a เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์

หมายเหตุ : รากที่สามของจำนวนจริงใด ๆ จะเป็นจำนวนตรรกยะหรือ

อตรรกยะอย่างใดอย่างหนึ่งเท่านั้น

 

คุณสมบัติของจำนวนเต็ม

จำนวนนับ (counting number) คือ จำนวนที่เราใช้นับสิ่งของต่าง ๆ เริ่มตั้งแต่ 1, 2 , 3 , … หรือเรียกอีกอย่างหนึ่งว่า จำนวนธรรมชาติ (natural number ) จำนวนนับจำแนกได้ 2 กลุ่มคือ จำนวนคู่ กับจำนวนคี่

1.1 จำนวนคู่ (odd number) คือ จำนวนนับที่มี 2 เป็นตัวประกอบ (หาร 2 ลงตัว) เช่น 2, 4 , 6 , 8 ,…. เป็นต้น

1.2 จำนวนคี่ ( even number) คือ จำนวนนับอื่นที่ไม่ใช่จำนวนคู่(หาร 2 ไม่ลงตัว) เช่น 1 ,3 , 5 , 7 …เป็นต้น

ตัวประกอบ( factor) คือ จำนวนนับที่หารจำนวนนับนั้นได้ลงตัว

เช่น 2 เป็นตัวประกอบของ 4 เพาะ 2 หาร 4 ได้ลงตัว

5 เป็นตัวประกอบของ 15 เพาะ 5 หาร 15 ได้ลงตัว

จำนวนเฉพาะ ( prime number) คือ จำนวนนับที่มากกว่า 1 และมีตัวประกอบเพียง 2 ตัวคือ 1 และตัวมันเอง เช่น 2, 3 , 5 , 7 , 11 ,…

การแยกตัวประกอบ (factoring ) คือ ประโยคที่แสดงการเขียนจำนวนนั้น ๆ ในรูปการคูณของตัวประกอบเฉพาะ

การแยกตัวประกอบนิยมใช้มี 3 วิธีคือ

4.1 ใช้แผนภาพต้นไม้ (treediagram) แล้วนำตัวประกอบเฉพาะทุกตัวที่อยู่ปลายกิ่งไม้ทุก ๆ กิ่งมาคูณกัน เช่น


10 5

50 2

5

50 = 5 x 2 x 5

4.2 ใช้การเขียนในรูปผลคูณของตัวประกอบร่วม (แนวคิดจากวิธีที่ 1) เช่น 50 = 5 x 10 = 5 x 2 x 5

ใช้วิธีหารสั้นโดยใช้จำนวนเฉพาะที่เป็นตัวประกอบของจำนวนนั้น ๆ มาหาร เช่น จงแยกตัวประกอบของ 1155

 

 

 


5 1155


3 231


7 77


11 11

1

1155 = 5 x 3 x 7 x 11

ตัวหาร่วมมาก (ห.ร.ม.)( greatest common divisor ) คือ ตัวประกอบร่วมที่มีค่ามากที่สุดของจำนวนนับเหล่านั้นนั่นเอง

ตัวอย่าง ค่ายลูกเสือแห่งหนึ่งมีลูกเสือมาพักแรม 3 กอง กองที่ 1 มี 45 คน กองที่ 2 มี 60 คน กองที่ 3 มี 90 คน ถ้าจะแบ่งลูกเสือในแต่ละกองออกเป็นหมู่ ๆ ให้แต่ละหมู่มีสมาชิกเท่ากันและมากที่สุด จะต้องแบ่งลูกเสือออกเป็นหมู่ละกี่คน

วิธีทำ จำนวนลูกเสือมากที่สุดคือ การหา ห.ร.ม. ของ 45 , 60 และ 90


5 45 60 90

3 9 12 18


3 4 6


ห.ร.ม. ของ 45 , 60 และ 90 คือ 5 x 3 = 15

ตัวคูณร่วมน้อย (ค.ร.น.) (least common multiple ) คือ ตัวคูณร่วมน้อยที่สุดของจำนวนนับเหล่านั้นนั่นเอง

ตัวอย่าง จงหา ค.ร.น. ของ 9 , 30 และ 40

วิธีทำ 3 9 30 40



5 3 10 40

2 3 2 8

3 1 4


ค.ร.น. ของ 9 , 30 และ 40 คือ 3 x 5 x 2 x 3 x 4 = 360

ความสัมพันธ์ของ ค.ร.น. และ ห.ร.ม. คือ ถ้า A เป็น ค.ร.น. ของ x กับ y และ B เป็น ห.ร.ม. ของ x กับ y จะได้ว่า AxB = (x)(y)

เช่น ค.ร.น. ของ 8 และ 12 คือ 24 และ ห.ร.ม. ของ 8 และ 12 คือ 4 จะได้ว่า

24x4 = 8x12 ® 96 = 96

อสมการ

อสมการ คือ ประโยคสัญลักษณ์ที่กล่าวถึงความสัมพันธ์ของจำนวนโดยมี

สัญลักษณ์ " < , > , £ , ³ , ¹ บอกความสัมพันธ์ระหว่างจำนวน คำตอบของอสมการคือ จำนวนที่แทนตัวแปรแล้วในอสมการทำให้อสมการเป็นจริงหรือสอดคล้องกับอสมการ

หลักการแก้อสมการ

    1. คำตอบที่ได้จากอสมการจะอยู่ในรูปช่วง
    2. ถ้าคูณหรือหารด้วยค่าลบ(จำนวนจริงลบ) เครื่องหมายของอสมการต้องเปลี่ยนเป็นตรงข้าม
    3. การแก้อสมการกำลังสูงสุดแค่หนึ่งให้ใช้หลักการแก้เหมือนการแก้สมการคือย้ายข้างได้สำหรับการบวกและลบนิยมย้ายตัวแปรใว้ด้านหนึ่ง
    4. การแก้อสมการที่มีกำลังมากกว่าหนึ่ง
      1. ทำทางขวามือของอสมการให้มีค่าเป็นศูนย์
      2. แยกตัวประกอบของอสมการให้อยู่ในรูปผลคูณหรือผลหารของฟังก์ชัน
      3. พิจารณาดูว่าค่าใดบ้างที่ทำให้ตัวประกอบแต่ละตัวเท่ากับสูนย์
      4. นำค่าที่ได้ใส่ลงในเส้นจำนวน โดยเรียงจากน้อยไปมาก
      5. น้อย + - + - + มาก


        กำหนดให้ช่วงทางขวามือสุดเป็นค่าบวก และถัดมาเป็นค่าลบ บวก ลบ…… สลับไปเรื่อย ๆ ตามจำนวนของช่วงที่มีอยู่

      6. พิจารณาหาคำตอบ โดยใช้หลัก
    1. ถ้าอสมการเครื่องหมาย > , ³ เลือกช่วงที่มีค่าบวก(+) ถ้ามีหลายค่าเชื่อมด้วย "หรือ"
    2. ถ้าอสมการเครื่องหมาย < , £ เลือกช่วงที่มีค่าลบ(-) ถ้ามีหลายค่าเชื่อมด้วย "หรือ"

ค่าสัมบูรณ์

ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนจริง a คือ IaI โดยที่

a เมื่อ a > 0

IaI = 0 เมื่อ a = 0

-a เมื่อ a < 0

   
คัดสรรมาฝากโดย leejeng (ลีเจง ถนอมวรกุล) บทความทั้งหมดของคุณ leejeng
วันที่ 26/07/2549 เวลา 10:51:44
เข้าชมบทความนี้แล้ว 3339 ครั้ง ได้รับการโหวต 6 คะแนน
โหวตให้บทความนี้ คะแนน
ตั้งกระทู้ใหม่ เก็บไว้ใน Favorites พิมพ์ แจ้งลบ ส่งบทความนี้ให้เพื่อน
เนื้อหาที่เกี่ยวข้อง
ตั้งกระทู้ใหม่   ดูเนื้อหาทั้งหมด